جمع الكميات المتجهة بيانياً ( بالرسم)

جمع الكميات المتجهة بيانياً ( بالرسم)


عرفت أن الكميات القياسية تجمع مقاديرها فقط؛ إذ لا اتجاهات لها. أما الكميات المتجهة فلا بد عند جمعها من أخذ المقدار والاتجاه بالحسبان. فكيف يتم ذلك؟

فإذا انطلق طالب من موقع معين (أ) نسبة إلى نقطة إسناد معينة (م) مثلاً، وسار (12) كم شرقاً ووصل إلى النقطة (ب). تلاحظ هنا أن موقع الطالب الاول يمثله المتجه أما موقعه الثاني فيمثله المُتَّجه . إن الطالب بحركته قد غير متجه الموقع لمكانه، فالحركة إذن هي تغير في متجه الموقع لاحظ الشكل (1-4).

الشكل (1-4): جمع المتجهات بيانياً.

وعندما يغير جسم موقعه، فإننا نقول أنه قد حقق إزاحة، أي أزيح عن موقعه، ويمكن وصف الإزاحة بمتجه تمثله قطعة مستقيمة من الموقع الاول إلى الثاني وهنا يمثل المتجه إزاحة الطالب الاولى.

وإذا استمر الطالب في حركته فسار (5) كم شمالاً ووصل الى النقطة (جـ)، فإن المتجه يمثل إزاحته الثانية. والآن هل يمكنك جمع الازاحتين؟ أي: ما مجموع : ؟

من الواضح أم المتجهة يمثل الإزاحة الكلية للطالب، والتي تساوي مجموع الإزاحتين وتسمى المحصلة. لاحظ أن الطالب لو سار إلى (جـ) مباشرة من (أ) لحقق إزاحة تكافئ الإزاحتين الأولى والثانية معاً، لذا فإن محصلة المتجهين هي متجه ثالث له التأثير نفسه، ويُعبّر عنه رياضياً بالعلاقة

ويمكن تعميم النتيجة السابقة لأي عدد من الإزحات، ولأي كمية متجهة أخرى. ولايجاد محصلة أي عدد من المتجهات بيانياً ( بالرسم)، عليك إتباع الخطوات الآتية:

1- مثل المتجه الأول مقدار واتجاهاً من نقطة إسناد معينة بمقياس رسم مناسب.

2- ارسم المتجه الثاني بالمقياس نفسه بحيث يكون ذيله على رأس المتجه الأول.

3- ارسم المتجه الثالث بالمقياس نفسه أيضاً بحيث ذيله على رأس المتجه الثاني وهكذا باقي المتجهات.......

4- المحصلة لجميع المتجهات هي المتجه الذي يبدأ ذيله المتجه الأول ورأسه ينتهي برأس المتجه الأخير.

5- قم بقياس طول المحصلة ومن مقياس الرسم جد مقدارها، أما اتجاهها فحدده بقياس الزاوية المحصورة بينها وبين أحد المتجهات ( مثلاً الأول)، أو أي اتجاه معروف كمحور السينات أو الشرق أو الشمال مثلاً.

مثال (1-1)

جد محصلة القوى الآتية والتي تؤثر في جسم معين:

ق1=12نيوتن، 37جنوب الشرق
ق2=10نيوتن، 30 شرق الشمال
ق3= 37نيوتن ، 25 شمال الشرق



الحل:


الشكل (1-5): المثال (1-1).

نرسم أولاً محورين متعامدين ليدلان على الاتجاهين (شرق - غرب) و ( شمال - جنوب)، لاحظ الشكل (1-5). ثم نرســم (ق1) باستخدام مقياس رسم مناسب، مثلاً كل (1) نيوتن يمثله سم بالرسم. وفي الاتجاه المحدد، وهكذا القوتين ، ،بحيث نرسم المتجه الممثل للقوة من رأس المتجه ، ومتجه القوة من رأس المتجه . عندئذ فإن المحصلة هي المتجه الذي يبدأ من ذيل المتجه وينتهي برأس المتجه .

بقياس طول المحصلة (4.5 سم) ومن مقياس الرسم فإن مقدار المحصلة = 9 نيوتن، أما الاتجاه فيصنع (50)‏ ْ شرق الشمال

أي أن : = 9 نيوتن، 50 ‏ْ شرق الشمال.

سؤال

يتحرك قارب في بُحيرة بسرعة (20) كم / ساعة باتجاه يصنع (30)‏ ْ جنوب الغرب، فإذا دخل نهر سرعة الماء فيه (15) كم / ساعة باتجاه (10)‏ْ غرب الشمال، جد سرعة القارب عندئذ مداراً واتجاهاً.

( لمساعدتك: سرعة القارب في النهر هي محصلة سرعته الأولى وسرعة ماء النهر).



.